ಆಡು, ಹುಲ್ಲು, ಹಗ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆ ನೀವು ಬಿಡಿಸಬಲ್ಲಿರಾ ?
ತಿಳಿರು ತೋರಣ
ಶ್ರೀವತ್ಸ ಜೋಶಿ
ಅಗಣಿತ ಎಂಬ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಆರಂಭಿಸುತ್ತೇನೆ, ಮೂರು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ. ಮೊದಲನೆಯದು ಸುಲಭ ಊಹೆ – ತಿಳಿರುತೋರಣ ಅಂಕಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಲೇಖನದ ಶುರುವಿಗೆ ಅ ಅಕ್ಷರ ಇರಬೇಕು ಎಂಬುದು; ಅದಕ್ಕಿಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ಕಾರಣ – ಗಣಿತವೆಂದರೆ ಗಾವುದ ದೂರ ಸರಿಯುವವರಿಗೆ ಇದು ಆ ರೀತಿಯ ಗಣಿತವಲ್ಲ, ಇಲ್ಲಿ ‘ಇ ಈಸ್ ಇಕ್ವಲ್ ಟು ಎಂಸಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್’ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಂದು ತುರುಕುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಗಣಿತ ವಿಷಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಗಣಿತವಲ್ಲದ್ದುಆದ್ದರಿಂದ ಅಗಣಿತ ಎಂದು ಧೈರ್ಯ ತುಂಬಲಿಕ್ಕೆೆ.
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಿರುವ ಒಂದು ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಇದುವರೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ತರ ಯಾರಿಗೂ ಸಿಕ್ಕಿಲ್ಲ, ಆ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದು ಎಣಿಸಲಾಗದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಗಣಿತ. ನಾವು ದೇವರನ್ನು ಸ್ತುತಿಸುವ ಭಜನೆಪದ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ತೋತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ‘ಅಗಣಿತ ಗುಣಗಣ’ ಎಂದು ಹಾಡುತ್ತೇವಲ್ಲ, ಅದೇ ಅರ್ಥದ ಅಗಣಿತ. ಶುದ್ಧಬ್ರಹ್ಮ ಪರಾತ್ಮರರಾಮ ಎಂದು ಆರಂಭವಾಗುವ ನಾಮರಾಮಾಯಣದಲ್ಲಿ ‘ಅಗಣಿತ ಗುಣಗಣ ಭೂಷಿತ ರಾಮ ಅವನೀತನಯಾ ಕಾಮಿತರಾಮ…’ ಎಂಬ ಸಾಲು ಬರುತ್ತದೆ.
ಇನ್ನೊಂದು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿರುವ ‘ಗರುಡಗಮನ ತವ ಚರಣ ಕಮಲಮಿಹ ಮನಸಿ ಲಸತು ಮಮ ನಿತ್ಯಂ…’ ಶಂಗೇರಿ ಸ್ವಾಮಿಗಳು ರಚಿಸಿದ ವಿಷ್ಣುಸ್ತೋತ್ರದಲ್ಲಿ ‘ಅಗಣಿತ ಗುಣಗಣ ಅಶರಣ ಶರಣದ ವಿದಳಿತ ಸುರರಿಪುಜಾಲ…’ ಎಂಬ  ಲುಬರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಅಗಣಿತ. ಪೀಠಿಕೆ ಇಷ್ಟು ಸಾಕು. ಈಗ ನೇರವಾಗಿ ವಿಷಯಕ್ಕೆೆ, ಅದೇ, ಸಿಂಪಲ್ಲಾದ ಒಂದು ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಬರೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆ ಏನಪ್ಪಾ ಅಂತಂದ್ರೆ, ಒಂದು ಎಕ್ರೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ವರ್ತುಲಾಕಾರದ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲಿಗೆ ಬೇಲಿ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ.
ಆ ಬೇಲಿಯ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಗ್ಗದಿಂದ ಒಂದು ಆಡನ್ನು ಕಟ್ಟಲಾಗಿದೆ. ಆಡು ಅರ್ಧ ಎಕ್ರೆಯಷ್ಟು ಜಾಗದ ಹುಲ್ಲನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿನ್ನಬಹುದು ಅಂತಾದರೆ ಆಡನ್ನು ಕಟ್ಟಿದ ಹಗ್ಗ ಎಷ್ಟು ಉದ್ದ ಇರಬೇಕು? ನೀವು ಈ ದಶ್ಯವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲೇ  ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳ ಬಲ್ಲಿರಿ. ಆದರೂ ನಿಮಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಲೆಂದು ಒಂದು ಚಿತ್ರವನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಹಗ್ಗ ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದವಿದೆ, ಆಡು ಹಸಿದಿದೆ. ಅದೇನೂ ಬೇಲಿಯ ಪಕ್ಕ ಮಲಗಿಕೊಂಡೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಎಷ್ಟೆಂದರೂ ಆಡು. ಆಡು ಮುಟ್ಟದ ಸೊಪ್ಪಿಲ್ಲ. ಹಗ್ಗದಿಂದ ಬೇಲಿಗೆ ಕಟ್ಟಿದ್ದರೂ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲಿನೊಳಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವೋ ಅಷ್ಟು ಕ್ರಮಿಸಿ ಆಡು ಹುಲ್ಲು ಮೇಯುತ್ತದೆ.
ಆದರೆ ಅರ್ಧ ಎಕ್ರೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಜಾಗದ ಹುಲ್ಲು ತಿನ್ನುವಂತಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲು ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು ಇರಬೇಕು ಎಂಬುದೇ ಸಮಸ್ಯೆ. ಇದೇನು ಮಹಾ, ಹೈಸ್ಕೂಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಿಚಾರವಿದು. ವತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಪೈ ಆರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಅಂತಸೂತ್ರ ಗೊತ್ತಿದ್ದರೆ ಸಾಕು ಆರಾಮಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದುಕೊಳ್ಳದಿರಿ! ವಿಶ್ವದ ವಿವಿಧೆಡೆಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತುಗಣಿತಾಸಕ್ತರು ಕಳೆದ ಸುಮಾರು ಮೂರು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಹೆಣಗಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.
ಹಾಗಂತ, ಇದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬೇರೆ ಕೆಲ ಪರಿಷ್ಕತ ರೂಪಗಳಿಗೆ ನಿಖರ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಕೊಂಡವರು ಇದ್ದಾರೆ; ಆದರೆ ಈ ‘ಅಜ-ಗ್ರಾಸ’ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅಜಮಾಸು ಉತ್ತರಗಳು ದೊರಕಿವೆಯೇ ಹೊರತು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಉತ್ತರ ಇದುವರೆಗೂ ಸಿಕ್ಕಿಲ್ಲ. ಯುಎಸ್ ನೇವಲ್ ಅಕಾಡೆಮಿಯ ನಿವತ್ತ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ, ಗಣಿತಜ್ಞ ಮಾರ್ಕ್  ಮೇಯರ್ಸನ್ ಎಂಬುವವರು ಹೇಳುವಂತೆ ‘ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿಕಾಣುವ ಸಮಸ್ಯೆ. ಇಷ್ಟು ವರ್ಷಗಳಾದ ಮೇಲೂ ಯಾರೊಬ್ಬರೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಕೊಂಡಿಲ್ಲ, ಬಗೆಹರಿಸಲು ಯತ್ನಿಸಿ ದವರೆಲ್ಲ ಅಂದಾಜು ಉತ್ತರಗಳಿಗಷ್ಟೇ ತೃಪ್ತರಾಗ ಬೇಕಾಗಿದೆ ಯೆಂದರೆ ನಿಜಕ್ಕೂ ಆಶ್ಚರ್ಯದ ಸಂಗತಿ’!
ಇದ್ದುದರಲ್ಲಿ ಈವರ್ಷದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತಜ್ಞನೊಬ್ಬ- ಇಂಗೊ ಉಲ್ಲಿಷ್ ಎಂಬಾತ – ನಿಖರ ಎನ್ನಬಹುದಾದ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದಾನೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಇನ್ನೊಬ್ಬರಿಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತೆ ವಿವರಿಸಿ ಹೇಳಲು ಅವನಿಂದಲೂ ಆಗುತ್ತಿಲ್ಲ!
ಇಂಗೊ ಉಲ್ಲಿಷ್‌ನ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರಪಂಚದ ಬೇರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರೆಲ್ಲ ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ ಪರಾಮರ್ಶಿಸಿದ್ದಾಾರೆ. ಅಮೆರಿಕದ ಪ್ರಖ್ಯಾಾತಕಾರ್ನಗಿ ಮೆಲ್ಲನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಮೈಕೇಲ್ ಹ್ಯಾರಿಸನ್ ಹೇಳುವಂತೆ ಇದೇ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ ಎನ್ನಲಾರೆವಾದರೂ ನಿಖರ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದೊಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಂತೂ ಹೌದು. ಇಂಗೊ ಉಲ್ಲಿಷ್‌ನ ಇಂಗಿತವೂ ಅದೇ: ತಾನು ಕಂಡು ಕೊಂಡ ಉತ್ತರವು ಗಣಿತ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿ ತರುವಂಥದ್ದೇನಲ್ಲ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸುವಂಥದ್ದೇ ನಲ್ಲ. ಈ ಉತ್ತರದಿಂದ ಗಣಿತದ ಬೇರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಿಕ್ಕಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವಂತೆಯೂ ಇಲ್ಲ.
ಆದರೂ ಈ ರೀತಿಯ ಮೋಜಿನ ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೂ ಹೊಸ ಹೊಳಹುಗಳನ್ನು ನೀಡಬಲ್ಲವು, ಗಣಿತಾಸಕ್ತರ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನುಅರಳಿಸಬಲ್ಲವು, ಮುಂದೊಂದು ದಿನ ಬೇರೆಯೇ ಒಂದು ಜಟಿಲ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, ಮಾನವಕೋಟಿಗೆ ಮಹದುಪಕಾರವಾಗುವಂಥಉತ್ತರ ದೊರಕಲಿಕ್ಕೆ ಕೈಮರವಾಗಬಲ್ಲವು. ಈ ಆಡು – ಹುಲ್ಲು – ಹಗ್ಗ ಸಮಸ್ಯೆೆಯ ಮೂರು ಶತಮಾನಗಳ ಇತಿಹಾಸ ಕುತೂಹಲ ಕಾರಿಯಾಗಿ ಇದೆ.
ಮೊತ್ತಮೊದಲಿಗೆ 1748ರಲ್ಲಿ, ಲಂಡನ್‌ನಿಂದ ವರ್ಷಕ್ಕೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತಿದ್ದ   : ,  ’   ಎಂಬ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಇಂಥದೊಂದು ಜಾಣ್ಮೆೆಲೆಕ್ಕ ಪ್ರಕಟವಾಗಿತ್ತಂತೆ. ಕಲೆ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಮತ್ತು ಮನೋಲ್ಲಾಸದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಮಹಿಳೆಯರಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಪತ್ರಿಕೆಯದು. 1748ನೆಯ ಇಸವಿಯು ಅಧಿಕವರ್ಷವೂ ಆಗಿದ್ದುದರಿಂದ ಆ ವರ್ಷದ ಸಂಚಿಕೆ ಅಧಿಕ ಮನೋರಂಜನೆಯುಳ್ಳದ್ದು ಎಂದು ಮುಖಪುಟದಲ್ಲೇ ಬರೆದುಕೊಂಡಿದ್ದರಂತೆ.
ಅಂಥ ಅಧಿಕ ಮನೋರಂಜನೆಯಲ್ಲಿ ಜಾಣ್ಮೆೆಲೆಕ್ಕವೂ ಸೇರಿಕೊಂಡಿತ್ತು. ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಬೇರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಪುರುಷರ ಉದ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಮೇಯಲಿಕ್ಕೆಂದು ಕಟ್ಟಿದ ಕುದುರೆ ಎಂದು ಜಾಣ್ಮೆೆಲೆಕ್ಕದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ. ಅಲ್ಲಿಯೂ ವತ್ತಾಕಾರದ್ದೇ ಬೇಲಿ. ಆದರೆ ಕುದುರೆಯನ್ನು ಬೇಲಿಯ ಹೊರಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟಿರುವುದು, ಮತ್ತು ಕುದುರೆಯನ್ನು ಕಟ್ಟಿದ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದವು ವತ್ತಾಕಾರದ ಬೇಲಿಯ ಪರಿಧಿಗೆ ಸಮ ಎನ್ನುವುದು ಆ ಜಾಣ್ಮೆೆಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶ. ಕುದುರೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಎಷ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಹುಲ್ಲನ್ನು ಮೇಯಬಹುದು ಎಂದು ಗಣಿತಾಸಕ್ತ ಓದುಗರು ಸಮಸ್ಯೆೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ‘ಹೊರಭಾಗದ ಹುಲ್ಲು ಮೇಯು ವಿಕೆ’ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಏಕೆಂದರೆ ಹಗ್ಗಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟಿರುವ ಪ್ರಾಣಿಯು ವತ್ತಾಕಾರದ ಬೇಲಿಯ ಹೊರಕ್ಕಿರುವ ಹುಲ್ಲನ್ನು ಮೇಯುವುದು. ಮಾರನೆಯ ವರ್ಷ ಅಂದರೆ 1749ನೆಯ ಇಸವಿಯ ‘ದ ಲೇಡೀಸ್ ಡೈರಿ…’ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಜಾಣ್ಮೆಲೆಕ್ಕದ ಉತ್ತರ ಪ್ರಕಟವಾಯ್ತು. ಮಿಸ್ಟರ್ ಹೀತ್ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಗಂಡಸರೊಬ್ಬರು (ಮಹಿಳೆಯರ ಮ್ಯಾಗಝಿನ್ ಅನ್ನು ಪುರುಷರು ಓದಬಾರದು ಎಂದೇನಿಲ್ಲವಲ್ಲ!) ಸರಿಯುತ್ತರವನ್ನುಬರೆದಿದ್ದ ಏಕೈಕ ವ್ಯಕ್ತಿ. ತಪ್ಪನ್ನು ತಿದ್ದುತ್ತ ಸತತ ಪ್ರಯತ್ನದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ದಶಾಂಶಪದ್ಧತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅವರುಆ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರಂತೆ. ಕುದುರೆಯನ್ನು 160 ಯಾರ್ಡ್‌ಗಳಷ್ಟು ಉದ್ದದ ಹಗ್ಗದಿಂದ ಕಟ್ಟಿದ್ದಾದರೆ ಅದು ಸುಮಾರು 76257.86 ಚದರ ಯಾರ್ಡ್‌ಗಳಷ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ ಪ್ರದೇಶದ ಹುಲ್ಲನ್ನು ಮೇಯಬಲ್ಲದು – ಇದು ಮಿಸ್ಟರ್ ಹೀತ್ ಉತ್ತರ.
ಶತಪ್ರತಿಶತ ನಿಖರ ಅಂತೇನಲ್ಲ, ಬೇರೆ ಉತ್ತರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾದದ್ದು ಅಂತಷ್ಟೇ. ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೂವರೆ ಶತಮಾನದ ಬಳಿಕ, 1894ರಲ್ಲಿ    ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಮಾಸಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ  ಹುಲ್ಲುಮೇಯು ವಿಕೆಯ ಗಣಿತಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪ್ರತ್ಯಕ್ಷವಾಯಿತು. ಈ ಬಾರಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಣಿಯ ಹೆಸರಿಲ್ಲದೆ ಬರೀ ‘ಒಂದು ಪ್ರಾಣಿಯನ್ನುಒಂದೆಕ್ರೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ವತ್ತಾಕಾರದ ಬೇಲಿಯೊಳಕ್ಕೆ ಹಗ್ಗಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟಿದೆಯಾದರೆ ಹಗ್ಗ ಎಷ್ಟು ಉದ್ದ ಇದ್ದರೆ ಪ್ರಾಣಿಯು ಅರ್ಧಎಕ್ರೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಷ್ಟು ಹುಲ್ಲು ಮೇಯಬಲ್ಲದು?’ ಎಂದು ನಿರೂಪಣೆ.
ಇದನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ‘ಒಳಭಾಗದ ಹುಲ್ಲು ಮೇಯುವಿಕೆ’ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇಂಗೊ ಉಲ್ಲಿಷ್ ಹೇಳುವ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ‘ಹೊರಭಾಗದ ಹುಲ್ಲು ಮೇಯುವಿಕೆ’ ಸಮಸ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಚಾಲೆಂಜಿಂಗ್. ಹೊರಭಾಗದ್ದರಲ್ಲಾದರೆ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದ ಗೊತ್ತಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ವತ್ತಾಕಾರದ ಬೇಲಿಯ ಪರಿಧಿಗೆ ಸಮ ಎಂಬ ಅಂಶವೂ ಗೊತ್ತಿರುತ್ತದೆ. ಅದರಿಂದ ವತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಕಂಡುಕೊಂಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರಾಯಿತು. ಅಂಕಗಣಿತದಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲವಾದರೂ ಕಷ್ಟಪಟ್ಟು ಉತ್ತರದ ಸಮೀಪಕ್ಕಾದರೂ ಬರಬಹುದು.
ಒಳಭಾಗದ ಹುಲ್ಲು ಮೇಯುವಿಕೆ ಆವತ್ತಿಯಲ್ಲಾದರೆ ಹಾಗಲ್ಲ, ಬೇಲಿ ಹಾಕಿರುವ ವತ್ತಾಕಾರದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೊಂದೇ ಗೊತ್ತಿರು ವುದು. ಅರ್ಧ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಷ್ಟು ಚಾಚಬಲ್ಲ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಲು ಕಠಿಣ. ಆದ್ದರಿಂದಲೇ ಇದುವರೆಗೆಯಾರಿಂದಲೂ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ! ಆಮೇಲಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್  ಮಂತ್ಲಿ ಪತ್ರಿಕೆಯು ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಯನ್ನು ಅಲ್ಪಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನ ರೂಪ ಕೊಟ್ಟು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತಿತ್ತು.
ವತ್ತಾಕಾರದ ಬದಲಿಗೆ ಚೌಕಾಕಾರದ ಬೇಲಿ, ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವತ್ತಾಕಾರದ ಬೇಲಿ ಇತ್ಯಾದಿ. ಹುಲ್ಲು ಮೇಯುವ ಪ್ರಾಣಿ ಕೂಡ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕುದುರೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕತ್ತೆ, ಮತ್ತೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೇಸರಗತ್ತೆ ಇತ್ಯಾದಿ. 1960ರಿಂದೀಚೆಗೆ ಪ್ರಕಟವಾದಲ್ಲೆಲ್ಲ ಬೇಲಿಗೆ ಕಟ್ಟಿರುವುದು ಆಡೇ ಆಗಿರುವುದೊಂದು ವಿಶೇಷ. ಬೇರೆ ಪ್ರಾಣಿಗಳಾದರೆ ಹುಲ್ಲನ್ನು ತಿನ್ನದೆಯೇ ಇರಬಹುದು, ಆಡು ಯಾವುದೇ ಸೊಪ್ಪನ್ನಾದರೂ ತಿನ್ನುತ್ತದಾದ್ದರಿಂದ ಆಡು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಂಜಸ. ಅಷ್ಟಾಗಿ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲು, ಬೇಲಿ, ಹಗ್ಗ, ಆಡು ಯಾವುದೂ ಭೌತಿಕ ಅಲ್ಲ, ಬರೀ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಣ ಮಾತ್ರ.
1984ರಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಷಲ್ ಫ್ರೇಸರ್ ಎಂಬೊಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹೊಸದೊಂದು ಆಯಾಮ ನೀಡಿದ. ಅದು ಅಕ್ಷರಶಃಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಯಾಮವೇ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳ ವತ್ತಾಕಾರದ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲಿನ ಬದಲಿಗೆ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಗೋಲಾಕಾರದ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲು; ಆ ಗೋಲದ ಒಳಗೋಡೆಯಲ್ಲೊಂದು ಕೊಕ್ಕೆಗೆ ಹಗ್ಗದ ಒಂದು ತುದಿಯ ಕುಣಿಕೆ ಬಿಗಿದು ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಆಡಿನ ಕೊರಳಪಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿದೆ; ಗೋಲದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಗಾತ್ರದ ಹುಲ್ಲನ್ನು ಮೇಯಲು ಆಡಿಗೆ ಕಟ್ಟಿದ ಹಗ್ಗ ಎಷ್ಟು ಉದ್ದವಿರಬೇಕು? ಇದನ್ನು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಊಹಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ.
ಆಡು ಗೋಲದ ಒಳಮೈಮೇಲೆ ನಡೆದಾಡಬಹುದಷ್ಟೇ ಹೊರತು ಗೋಲದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಬರುವುದಾದರೂ ಹೇಗೆ? ಅದಕ್ಕಿಂತ,ಗೋಲಾಕಾರದ ಸೇಬುಹಣ್ಣಿನೊಳಗೆ ಪುಟ್ಟದೊಂದು ಹುಳು ಸೇರಿಕೊಂಡು ಸೇಬುವಿನ ಅರ್ಧ ಗಾತ್ರ ಮುಗಿಸಲಿಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟುಉದ್ದದ್ದಿರಬೇಕು ಎಂಬಂಥ ದಶ್ಯವನ್ನಾದರೂ ಊಹಿಸಲಿಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗೋಲಾಕಾರದೊಳಗೆ ಆಡನ್ನುಊಹಿಸಲಿಕ್ಕೇನೂ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ. ಊಹೆಗಳು ಗಣಿತಲೋಕದ ಆಧಾರಸ್ತಂಭಗಳು. ಯುಎಸ್ ನೇವಲ್ ಅಕಾಡೆಮಿಯ ಗಣಿತಜ್ಞಮಾರ್ಕ್ ಮೇಯರ್ಸನ್ ಈ ‘ಗೋಲದೊಳಗೆ ಮೇಯುತ್ತಿರುವ ಆಡು’ ಚಿತ್ರಣವನ್ನೇ ಇನ್ನಷ್ಟು ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಮೊನಚುಗೊಳಿಸಿ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಗೋಲದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇವುಗಳ ಅನುಪಾತವು 2ರ ವರ್ಗಮೂಲದಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವು ದಕ್ಕೆ  ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.
ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವತ್ತಾಕಾರದ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲಿಗಿಂತ ಗೋಲಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿ ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳ ಆಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಆಡು ಮೇಯುವುದೆಂದಾದರೆ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ ಎಂಬ ವಿಚಾರವೂ ಮಂಡನೆಯಾಯಿತು.ನೇವಲ್ ಅಕಾಡೆಮಿಯ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮೈಕೇಲ್ ಹೊಫ್‌ಮನ್ ‘ಹೊರಭಾಗದ ಹುಲ್ಲು ಮೇಯುವಿಕೆ’ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಹು-ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದನು. ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ತಂಭಾಕಾರದ ಹೊರಮೈಗೆ ಕಟ್ಟಿರುವ ಎತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದ್ದದ ಹಗ್ಗದಿಂದ ಕಟ್ಟಿದ್ದಾದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಎಷ್ಟು ಹುಲ್ಲನ್ನು ಮೇಯಬಲ್ಲದು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದನು.
ಇಲ್ಲಿ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲು ಅಲ್ಲ ತ್ರೀ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂಬ ಚಿತ್ರಣ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮೂಡುವುದಕ್ಕೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಇಂಗ್ಲೇಂಡ್‌ನ ಲಂಕಾಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಗ್ರಹಾಂ ಜೇಮ್ಸನ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಮಗ ನಿಕೋಲಾಸ್ ಜೇಮ್ಸನ್‌ನನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿಕೊಂಡು ‘ಗೋಲದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೇಯುವಿಕೆ’ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಿದ್ದು ಗೋಲಾಕಾರದೊಳಗೆ ಆಡಿನ ಚಲನೆ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವಾದ್ದ ರಿಂದ ‘ಗೋಲದೊಳಗೆ ಹಕ್ಕಿ ಹಾರಾಟದ ಸಮಸ್ಯೆ’ ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ.
‘ಗೋಲಾಕಾರದ ಗೂಡಿನ ಒಳಮೈಗೆ ಸಿಕ್ಕಿಸಿದ ಹಗ್ಗಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟಿದ ಹಕ್ಕಿಯು ಗೋಲದ ಅರ್ಧ ಗಾತ್ರದಷ್ಟು ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹಾರಬೇಕಾದರೆ ಹಗ್ಗ ಎಷ್ಟು ಉದ್ದವಿರಬೇಕು?’ ಇದು ಆ ಗಣಿತಾಸಕ್ತ ತಂದೆ – ಮಗ ಜೋಡಿಯು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮಂಡಿಸುವ ರೀತಿ. ಬಹು ಆಯಾಮಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯ ಆಕೃತಿಗಳಿಗಿಂತ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಹುಲ್ಲುಗಾವಲಿನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟಿದ ಆಡಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯೇ ಹೆಚ್ಚು ಆಕರ್ಷಕ. ದಶ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ತಪಟಲದಲ್ಲಿ ಮೂಡಿಸುವುದಕ್ಕೂ ಸುಲಭ. ಜನಸಾಮಾನ್ಯರಿಗೂ ಆಸಕ್ತಿ ಹುಟ್ಟುವಂತೆ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಇಂಗೊ ಉಲ್ಲಿಷ್ 2001ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲಬಾರಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆೆಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಕರೊಬ್ಬರ ಬಾಯಿಯಿಂದ ಕೇಳಿದಾಗ ಆತನಿಗೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಆಸಕ್ತಿ ಹುಟ್ಟಿತು.
ಮುಂದೆ 2017ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯ ಮ್ಯುನ್ಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪಡೆದ ಮೇಲೆ ಈ ಆಡು, ಹುಲ್ಲು, ಹಗ್ಗ ಸಮಸ್ಯೆಗೇ ತನ್ನ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮ ಮುಡಿಪಾಗಿಟ್ಟನು. ಹೊಸ ವಿಧಾನದಿಂದ ಇದಕ್ಕೊಂದು ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಂಡೇ ಸಿದ್ಧ ಎಂದು ಪಣ ತೊಟ್ಟನು. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಟ್ರಾನ್ಸೆಂಡೆಂಟಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್‌ ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎನಾಲಿಸಿಸ್ ಮುಂತಾದ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಯುಧವಾಗಿಸಿ ಇಂಗೊ ಅಖಾಡಕ್ಕಿಳಿದನು. ವಿಧಾನಗಳೇನೋ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಹುಕಾಲದಿಂದಲೂ ಇವೆ, ಆದರೆ ಮೋಜಿನ ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದವರು ಅಪರೂಪ. ಬಹುಶಃ ಇಂಗೊ ಉಲ್ಲಿಷ್‌ನೇ ಮೊದಲಿಗ.
ತೊಂದರೆಯೇನೆಂದರೆ ಬಳಸಿದ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದಷ್ಟೂ ಜನಸಾಮಾನ್ಯರಿಗೆ, ಗಣಿತವೆಂದರೆ ಕಬ್ಬಿಣದ ಕಡಲೆ ಎಂದು ಮುಖ ತಿರುಗಿಸಿ ದೂರ ಸರಿಯುವವರಿಗೆ, ಅರ್ಥವಾಗುವಂತೆ ವಿವರಿಸುವುದು ಬಲು ಕಷ್ಟ. ಜನಸಾಮಾನ್ಯರಿಗೆ ಅರ್ಥವಾಗ ದಿದ್ದರೂ ಅದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಬೇರೆ ಸಂಶೋಧಕರಿಗೆ, ಅಧ್ಯಯನಶೀಲರಿಗೆ ಹೊಸ ಆಲೋಚನೆಗಳಿಗೊಂದು ಸಾಧ್ಯತೆ ಆಗುವುದಂತೂ ಖಂಡಿತ ಹೌದು. ಶಾಲೆ – ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ವಿದ್ಯೆೆ ಆಮೇಲೆ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಯಾಪೈಸೆಯಷ್ಟೂ ಉಪಯೋಗಕ್ಕೇ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯವೂ ವ್ಯರ್ಥ, ಪಾಣಿನಿಯ ವ್ಯಾಕರಣವೂ ವ್ಯರ್ಥ ಎಂದುಕೊಳ್ಳು ವವರು ಇದರಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ ಕಾಣಲಾರರು. ಆದರೆ ‘ಅಗೆವ ಬುದ್ಧಿ ಉಳ್ಳವರಿಗೆ’ ಅನಂತ ಅವಕಾಶಗಳು.
ಏನಿಲ್ಲವೆಂದರೂ ತರೀಕೆರೆ ಏರಿ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಕರಿ ಕುರಿಮರಿಗಳು ಮೇಯುವ ದಶ್ಯವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡು ಮನಸ್ಸನ್ನು ರಂಜಿಸಿ ಕೊಳ್ಳಬಲ್ಲ ನಾವು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬೇಲಿಯೊಳಗೆ ಒಂದು ಆಡು ಮೇಯುವುದನ್ನೂ ಕಲ್ಪಿಸಿ ಮುದ ತಂದುಕೊಳ್ಳಲಾರೆವೇ?ಹಗ್ಗ ಎಷ್ಟು ಉದ್ದದ್ದೆಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ನಮಗೇನಾಗಬೇಕಿದೆ!?