ಫರ್ಮನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂಬುದು , , , ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು ≥ 3 ಆಗಿರುವಾಗ + = ............…(1) ಸಮೀಕರಣದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಮಂಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯ (ಫರ್ಮಾಸ್ ಲಾಸ್ಟ್ ಥಿಯರಮ್). ಫರ್ಮ (1601-65) ಎಂಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ ತನ್ನಲ್ಲಿದ್ದ ಡಯೊಫಾಂಟಸ್ ಕೃತಿಗಳ ಬಾಚೆಟ್ ಆವೃತ್ತಿಯ ಪ್ರತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಚು ಟಿಪ್ಪಣಿಯಾಗಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದ (1637). ಇದರಲ್ಲಿ ಆತ ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ ತನ್ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿ ಒತ್ತಿ ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ. ಆದರೆ ಈ ವಿಷಯದ ಉತ್ತರಚರಿತ್ರೆ ಫರ್ಮ ಪ್ರಾಯಶಃ ತನ್ನ ಸಾಧನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಪ್ಪು ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿರಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಿದೆ. ಇದು ಹಾಗಿರಲಿ. ಈಗ , , ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವಾಗ x4 + y4 = z4.............…(2) ಸಮೀಕರಣ ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ಫರ್ಮ ನಿಜಕ್ಕೂ ಸಾಧಿಸಿದ್ದ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಾಧು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ , , ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ( ) ಆಗಿರುವಾಗ + = ...........…(3) ಸಮೀಕರಣದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರುಜುವಾತಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಅತಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ದಿಟ್ಟತನದಿಂದ ಕೂಡಿದ ಆವಿಷ್ಕಾರ ಎಂದರೆ ಇ. ಇ. ಕುಮ್ಮರ್ (1810-90) ಎಂಬಾತನ ಕೃತಿ. ಆತ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಏನು ಎನ್ನುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಡಯೊಫೇಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕು. ಕುಮ್ಮರನ ಕೃತಿಯ ಅನಂತರ ಈಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಎಚ್.ಎಸ್. ವ್ಯಾಂಡಿವರ್ ಎಂಬವರು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಅದೇ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆದು ಎಲ್ಲ < 2522 ಕ್ಕೂ ಸಮೀಕರಣದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಂಡಿವರ್ ಅವರಿಂದ ಮುಂದೆ ಬಂದ ಕಾರ್ಯಕರ್ತರು ಯ ಈ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ ಅನಂತಸಂಖ್ಯೆಯ ( ) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗಳ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಕೂಡ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯ ಸಾಧನೆ ಅತಿ ಕಷ್ಟವೆಂದು ತೋರುವುದು. ಫರ್ಮನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಧುನಾತಮ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕುರಿತು ವ್ಯಾಂಡಿವರ್ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಮಂತ್ಲಿ 53 (1946) 555-78ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಗಿರುವ 'ರಿಪೋರ್ಟ್ ಆಫ್ ದ ಕಮಿಟಿ ಆನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೇಕ್ ನಂಬರ್ಸ್' ಎಂಬ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ತುಂಬ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಘುಗಣಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಎ. ಬೇಕರ್ ಮಾಡಿದ ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದಾಗಿ ದಾಳಿಯ ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳು (ಇವುಗಳಿಂದ ಕುಮ್ಮರ್‌ನದರಷ್ಟು ತೃಪ್ತಿಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ತನಕ ಲಭ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ) ಸಾಧ್ಯವಾಗಿವೆ. ಇಂಥ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಒಳ್ಳೆಯ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಿ. ಎಲ್. ಸ್ಟೆವಾರ್ಟ್ ಅವರು ಪಡೆದಂಥವು [ಎ. ನೋಟ್ ಆನ್ ಫರ್ಮ ಇಕ್ವೇಶನ್, ಮ್ಯಾಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ 24(1977), 130-132.] ಅವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ. ಸಮೀಕರಣ (1)ಕ್ಕೆ <, ≥3 ಆಗಿರುವಂತೆ , , , ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇವೆ ಎಂದೂ, , , ಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಎಂದೂ ಅಂಗೀಕರಿಸೋಣ. ಆಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ: ಪ್ರಮೇಯ 1: ಗಣ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕ ( ) ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಮತ್ತು − < 1 − − 1 2 {\ -<^{1--{\ {1}{2}}}} ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ < ಆದ ವಿನಾ ಪರಿಹಾರ ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಗುಣವಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗಣಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಪ್ರಮೇಯ 2: ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಮತ್ತು - < ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ < ಆದ ವಿನಾ ಪರಿಹಾರ ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಗುಣವಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕ ಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗಣಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ. == ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ == ಆ್ಯಂಡ್ರೂ ವೈಲ್ಸ್ (1953) ಎಳೆ ಅಣುಗನಾಗಿದ್ದಾಗ ಫರ್ಮಾ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಆಕರ್ಷಿತರಾದರು. ಗಣಿತಾಧ್ಯಯನ ಚಿಂತನ ಮಂಥನವೇ ತಮ್ಮ ಜೀವನದ ಏಕೈಕ ಲಕ್ಷ್ಯವೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಫರ್ಮಾ ಅವರನ್ನು ವಶೀಕರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ, ಫರ್ಮಾನಿಂದ ಅವರು ಸಂಪೀಡಿತರಾಗಿದ್ದರು. ದಿನಾAಕ 26-6-1993 ರಂದು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ದೈನಿಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಮಾಚಾರ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. "ಕೊನೆಗೂ ಈ `ಅಗೋಚರ' ಆದರೆ ಖಚಿತ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಇದೆಯೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದ್ದ `ಸಾಧನೆ' ಸಿದ್ಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಅರ್ಥಾತ್ ಫರ್ಮಾ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಅಮೆರಿಕದ ಪ್ರಿನ್‌ಸ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಆ್ಯಂಡ್ರೂ ವೈಲ್ಸ್ ಈ `ಸಾಧನೆ' ಗಳಿಸಿರುವ ಪರಮ ಸಾಧಕ" ಎಂದು ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಮುಂದೆ ವೈಲ್ಸ್ 27-6-1997 ರಂದು ಪಾಲ್ ವೂಲ್ಫ್‌ಸ್ಕೇಹ್ಲ್ ಪ್ಯಾರಿಸ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಇದಕ್ಕಾಗಿ 1816ರಲ್ಲಿ ಘೋಷಿಸಿದ್ದ ಬಹುಮಾನ ಧನವನ್ನು (1997ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ 50,000 ಡಾಲರ್) ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ + = ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನ ಬೆಲೆ 2 ಅಥವಾ ಅಧಿಕ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ( ) ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಉಕ್ತಿಗೆ ಉತ್ತರ ದೊರಕಿತು. == ಉಲ್ಲೇಖಗಳು == == ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ==